二次方程

定义

二次方程是一种整式方程，其未知项的最高次数是2。

如果一个二次方程只含有一个未知数 x，那么就称其为一元二次方程。

如果一个二次方程含有二个未知数 x、y，那么就称其为二元二次方程，以此类推。

二次方程中最常见的是一元二次方程。它的基本表达式为：，其中a为方程的二次项系数，b为一次项系数，c为常数。若，则该方程没有二次项，即变为一次方程。

根的判定

解实系数一元二次方程时，必须关注解是实数还是复数，通过判断判别式的正负可以判断。

对于任意一个一元二次方程：，令，称之为判别式，下面分情况讨论：

（1）若，方程无实数根，有两个复数根：。

（2）若，方程有两个相等的实根：。

（3）若，方程有两个不等实根：。

求解方法

因式分解法

解一元二次方程的基本思想是设法把所有方程变形成和它同解的两个最简单的一元一次方程，。据此，对于任意一个一元二次方程：，只要我们能够把它左边的二次三项式分解成两个一次因式，即：令，解出这两个方程就可以得到原方程的解了。

该方法主要是通过因式分解，把一个一元二次方程的求解问题转化为一元一次方程的求解问题，通常把这种方法也叫作降次求解方法，这种方法也适用于某些高次方程。

形式：；则两个解为：。

配方法

形式：；

则两个解为：。

求根公式

形式：

则两个解为：（前提条件：）。

韦达定理

形式：

则有根与系数的关系为：，。

特殊地，当二次项系数为1，即时，，。

函数的最值

一元二次函数的一般形式为：，下面分情况讨论函数的最值：

a>0时

若，那么该函数在坐标平面内对应的抛物线开口向上，函数具有最小值。

当时，函数取到最小值：。

a<0时

若，那么该函数在坐标平面内对应的抛物线开口向下，函数具有最大值。

当时，函数取到最大值：。

该页面最新编辑时间为 2024年4月8日

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