首页 >机构 >驻波

驻波

（在两个波重叠区域产生的特殊的干涉现象）

驻波（standing wave[1]）是指两列振幅相同的相干波在一直线上沿相反方向传播时，在两个波的重叠区域产生的干涉现象。[9]

驻波资料

外文名：standing wave^{[1]现象名称}

应用学科：物理^{[5]实际应用}

驻波的方程为[10]，式中，A表示振幅，表示频率，λ表示波长，是时间t的余弦函数，说明形成驻波后，各质元都在作同频率的简谐振动；是坐标x的余弦函数，可以把它看作是x处质元的振幅，由于振幅应该总是正的，所以取来表示x处质元的振幅。[10]

驻波的振动方式为分段振动，每一段都作为一个整体同步振动，相邻段振动方向相反。驻波的波节位于处，波腹位于处，波节处质元振动的振幅为零，始终处于静止状态；波腹处质元振动的振幅最大，等于2A。其他各处质元振动的振幅则在零与最大值之间，两相邻波节或两相邻波腹之间相距为半波长，波腹和相邻波节间的距离为λ/4，即波腹和波节交替作等距离排列。[11]

在能量方面，驻波没有能量的单向传播，波形也不传播。当两波节间各点的振动位移分别达到各自的正、负最大值时，各点处的动能均为零，波节附近因相对形变最大，势能具有最大值，而波腹附近因相对形变最小，势能具有极小值。[11]

驻波是一种特殊的干涉现象，广泛存在于自然界中，如管、弦、膜、板的振动都是驻波现象；驻波可以用来测波长，也可以用来确定振动系统的固有频率，[12]被广泛应用于信号传输、量子力学、医学等领域[6][7][8]

产生方式

两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加时形成的波叫做驻波。在实践中一般是利用了波的反射来得到两列沿相反方向传播的波，而且这两列波的振幅和频率都相同。比如说弦上的驻波，当声波传播到固定端时会发生反射，反射波与入射波传播方向相反，振幅和频率都相同。因此，入射波和反射波的叠加形成驻波。对于管中的驻波，当声波传播到闭口端时同样发生反射，入射波和反射波叠加形成驻波。由于弦的固定端和管的闭口端相当于波在传输过程中遇到的障碍物，因此对于波在弦的固定端和管的闭口端发生反射是比较容易接受的。然而，对于管中的驻波，还有另外一种情况是两端开口的管中形成的驻波。这样一来，驻波的形成原理解释为波源在一个开口端发生振动产生入射波。入射波传播到另一个开口端时发生反射，入射波和反射波叠加形成驻波。[13]

特点

运动方程

设有两列振幅相同、相速相同、初相为零的相干波，分别沿轴正方向和轴负方向传播，波动方程分别为

式中，A为波的振幅，ν为频率，λ为波长。[14]

在两波相遇处质元的位移为

运用三角函数关系，可简化为

上式称为驻波方程。式中，表示简谐振动，而即为简谐振动的振幅。x与t被分隔于两个余弦函数中，说明此函数不满足，因此它不表示行波，只表示各质点都在做与原频率相同的简谐振动，但各点的振幅随位置的不同而不同。[15]

振幅分布波腹与波节

驻波方程中，右端有两个因子和，因子含有时间变量，它表明质点做简谐振动。因子与时间无关，只与r有关，对于确定的位置r，其为定值，所以是位置r处质元做简谐振动的振幅。可见轴上各质元的振幅随位置r不同而异，r满足的那些点振动的振幅最大（等于2A），叫作波腹；满足的那些点，振动的振幅为零，这些点始终静止不动，叫作波节。其余各点的振幅在零与最大值（2A）之间，下面求波腹与波节的位置。[16]

当时，有

即

满足上式的各点为波腹，相邻波腹之间的距离为

即相邻波腹之间的距离为半个波长。[16]

当时，有

即

满足上式的各点为波节，相邻波节之间的距离为

即相邻波节之间的距离也为半个波长。显然，波节与相邻波腹之间的距离为λ/4，故测得了波腹或波节间的距离，便可确定两相干波的波长。若入射波与反射波在弦线上叠加，只有当弦线长度为λ/2的整数倍时，才能形成驻波。[16]

相位分布

从驻波方程可以看出，因子中的相位与质元的位置r无关，似乎在同一时刻所有质元都具有相同的相位。其实不然，因为振幅等于，所以质元振动的相位与值的正负有关，而值的正负与r有关，凡是使值为正的各点的相位均相同；凡是使值为负的各点的相位也相同，但与前述各点的相位相反。[16]

在相邻两波节之间，具有相同的符号，所以两波节之间各点的振动相位相同，而波节两边各点的符号相反，所以波节两边各点振动相位相反。可见，相邻两波节之间的各点，振动位移同时达到最大值，同时通过平衡位置，同时达到负的最大值；波节两边各点的位移同时沿相反方向达到最大值，又同时沿相反方向通过平衡位置，如下图所示。所以驻波是做分段的振动，每段内所有质元的振动是同步的。驻波与行波不同，每一时刻，驻波都有确定的波形，这个波形既不向左移，又不向右移，因此才称为驻波。[16]

能量分布

当驻波形成时，介质各点必定同时达到最大位移，又同时通过平衡位置。当介质质点达到最大位移时，各质点的速度为零，即动能为零，而介质各处却出现了不同程度的形变，越靠近波节处形变量越大。所以在此状态下驻波的能量以弹性势能的形式集中于波节附近。当介质质点通过平衡位置时，各处的形变都随之消失，弹性势能为零，而各质点的速度都达到了自身的最大值，以波腹处为最大。因此，在这种状态下，驻波的能量以动能的形式集中于波腹附近。由这两种状态的情形可见一斑，于是我们可以得出这样的结论：在驻波中，波腹附近的动能与波节附近的势能之间不断进行着互相转换和转移，却没有能量的定向传播。[16]

从能流角度来看，由于形成驻波的两列相干波的能流密度量值相等，但传播方向相反，因此合成波的能流密度为零，即不存在沿单一方向的能流，故驻波不传播能量。[16]

机械波的半波损失

实验发现，在两种介质界面处有时形成波节，有时形成波腹。理论和实验表明，这一切均取决于界面两边介质的相对波阻。[16]

机械波的波阻（即波的阻抗）是指介质的密度与波速之乘积，相对波阻较大的介质称为波密介质，反之称为波疏介质。[16]

实验表明：波从波疏介质入射而从波密介质上反射时，界面处形成波节；波从波密介质入射而从波疏介质上反射时，界面处形成波腹。[16]

如果在界面处形成波节，则表明在界面处入射波与反射波的相位始终相反，或者说在界面处入射波的相位与反射波的相位始终存在着π的相位差，这种现象叫作半波损失（或称作半波突变）。[16]

反射波产生半波损失的条件是：波从波疏介质入射并从波密介质反射；对于机械波，还必须是正入射。[16]

如果在界面处形成波腹，则表明在界面处入射波与反射波的相位始终相同，这时反射波没有半波损失。[16]

应用

信号传输

驻波所固有的种种性质使它在电信工程中经常的得到利用，例如：由于波节的位置不随t而变，只和工作波长λ有关，所以，经常利用这个特性来测定工作波长。又如，输入阻抗呈电抗性这一特点，使它在高频时被作为电抗元件来使用。再就是：当时，短路线的输入阻抗为无限大；而在时，短路线的输入阻抗为零。由于传输线极短，从而衰减很小，因此，这样的短路线可用来构成Q值极高（例如1000~4000）的谐振回路。[6]

量子力学求解

在大学物理范围内讨论量子力学求解某些问题时，例如求解处于定态（即能量具有确定值的状态）的微观粒子的量子化能量（即能级）或其它有关物理量，可以不必通过求解定态薛定谔方程，而利用驻波方法就比较简单地得到结果。[7]

所谓驻波方法，主要是考虑到处于定态的微观粒子，其所对应的物质波应形成驻波，以及对物质波的驻波应用机械波或电磁波等的驻波条件（例如，沿两端固定的弦传播的波形成驻波的条件是弦长为半波长的整数倍，沿一圆周传播的波形成驻波的条件是圆周长为波长的整数倍等等）。那么通过德布罗意关系，把驻波条件和粒子的动量联系起来，即可得到粒子动量的量子化条件，有些情况还可得到角动量的量子化条件，并进一步得到粒子的最子化能量。对于较复杂情况（例如谐振子）也可由简单情况作适当推广得到。[7]

X射线驻波

X射线驻波（简称XSW）最早是劳厄在1935年以X-ray interface effect的形式提出来的。1964年，Batterman提出了X射线驻波的概念和原理，但这项技术真正发展主要应归因于同步辐射的出现，它为这项技术提供了两个有利条件：高能量和波长可调。[17]

XSW技术现在已很成熟，可用来确定吸收原子相对于晶格的位置。这项技术特别适用于研究表面和界面，也可用于大块晶体如石榴石和Ⅱ-Ⅵ族化合物，可获得化学配比、偏光性和原子结构因子等信息。[17]

XSW技术可以精确地确定外来原子的位置。在很多情况下这些信息足以描述吸附原子相对于基底的位置。在某些情况下尤其是在外延层的结构是未知的情况下，需要建立模型，并参考其他测量技术得到的结果，从许多模型中找出正确的模型。应该指出，XSW技术与其他表面和界面研究方法是互补的。例如，X射线表面衍射技术可以给出表面结构，但只在平行于表面的平面内，而XSW技术可以给出垂直于表面方向的距离。XSW还被用于研究多层膜、超晶格、相变、能带结构等。[17]

医用驻波电子直线加速器

医用驻波电子直线加速器是由一系列以一定方式耦合起来的谐振腔链组成的加速管，微波功率馈入谐振腔内，经过来回反射形成驻波电磁场，驻波电磁场在各个腔内的轴向上形成轴向电场，幅值不断变化，但不向前传播。选择合适的相位，当电子通过每个谐振腔时，利用轴向电场加速，以便获得最终高能量。[18]

利用具有一定能量的高能电子（速度达到亚光速）与大功率微波的微波电场相互作用，从而获得更高的能量。这时电子的速度增加不大，主要是质量不断变大。电子直接引出，可作电子线治疗。电子打击重金属靶，产生轫致辐射发射X射线，作X线治疗。[8]

电磁波位相速度的测定

弗罗姆（Froome）利用下图所示的装置测定了电磁波的位相速度。图中RG是射频波发生器，其频率由测频器FM测定（实际使用的频率约Hz，相应的波长约4mm）。由RG发出的射频信号通过一对发射天线和形成两束反向传播的电磁波，叠加后产生一个驻波。接收器R用来测量驻波各点的强度（正比于振幅平方），由此可以确定驻波波节和波腹的准确位置。因为两相邻波节（或波腹）之间的距离为λ/2，所以用这个方法可以精确测定电磁波波长。利用所测最到的频率和波长数据，便可以计算出电磁波的位相速度。1958年弗罗姆测得真空中的电磁波相速为：c=299792.50±0.10km/s。[19]