随机过程

20世纪初，受到概率论发展的影响以及对研究实际问题的需要，静止的概率论已经不能满足要求。随机过程的早期研究是在布朗运动的基础上进行的，1923年数学家维纳（Wiener）用三角级数首次给出了布朗运动的严格数学定义，并证明了布朗运动轨道的连续性。1931年，俄国数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫（俄语：Андре́й Никола́евич Колмого́ров）发表的《概率论的解析方法》和1934年数学家辛钦（Aleksandr Yakovlevich Khinchin）发表的《平稳过程的相关理论》是研究随机过程一般理论的重要著作，奠定了马尔可夫过程和平稳过程的理论基础。1953年，美国数学家杜布（英文：Doob）出版了著作《随机过程论》，系统地介绍了随机过程的基本理论，并提出了鞅论的概念。杜布使随机过程的研究进一步抽象，丰富了概率论的内容，为调和分析、复变函数和位势理论等其他数学分支提供了有力工具。[2]

随机过程通常使用有限维分布族来表示，它的特征性质是随机过程理论的重要定理。[7]随机过程的种类很多，由过程的时间参数和状态参数的不同可得到不同的分类方法，如离散时间离散状态随机过程和连续时间连续状态随机过程等。对一维实过程进行推广，随机过程可推广至多维随机过程以及复随机过程。[3][8]常见的随机过程包括独立增量过程、正交增量过程、平稳过程、马尔可夫过程、高斯过程、泊松过程、维纳过程等。[9][10]

随机过程在金融学[4]、声学[5]、生物学[6]等其他领域有着广泛的应用，如把声波在混合物介质中的传播过程抽象为粒子在三维马尔科夫链中以声速进行“随机游走”，再构建随机过程理论模型，可以较好地解释声波在混合物介质中传播时“峰波延后”及“尾波”等现象。[5]

历史

早期研究

在20世纪初，受到概率论发展的影响和实际问题的研究所需，静止的概率论已经无法满足要求，人们开始研究随机过程。随机过程最早源自于物理学的研究，如吉布斯、玻耳兹曼和庞加莱等物理学家对统计力学的研究，以及后来的物理学家爱因斯坦（Einstein）、数学家维纳和莱维等对布朗运动的开创性工作。[2]

1900年，巴施里耶第一次将布朗运动应用于金融领域，对股票价格的进行描述。后来，物理学家爱因斯坦用不同的概率模型求得了布朗运动质点的转移密度。1907年前后，数学家安德雷·安德耶维齐·马尔可夫（俄文：Андрей Андреевич Марков）着手分析一列有特定相依性的随机变量，即离散马尔可夫过程。直到1923年，数学家维纳用三角级数首次给出了布朗运动的严格数学定义，并证明了布朗运动轨道的连续性，进而到1931年俄国数学家柯尔莫哥洛夫发表的《概率论的解析方法》和1934年数学家辛钦发表的《平稳过程的相关理论》有关于随机是研究随机过程一般理论的重要著作，奠定了马尔可夫过程和平稳过程的理论基础。[2]

后续发展

进入20世纪，随机过程进一步发展，体现在对马尔可夫过程、鞅论、平稳过程、点过程等常见过程的研究上。[11]

马尔可夫过程

20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要数学工具是微分方程和半群理论（即分析方法）。1936年前后开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法和分析轨道性质的概率方法结合运用，才使得研究工作进一步发展，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。[11]

鞅和随机微分方程

1942年，日本数学家伊藤清用泊松过程来研究一类特殊的马尔可夫过程一扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的又一重要途径，并于1951年建立了关于布朗运动的随机微积分方程的理论。随机积分与随机微分方程的建立为随机过程研究拓展了新的途径。1953年，美国数学家杜布出版了著作《随机过程论》，系统地介绍了随机过程的基本理论，并提出了鞅论的概念。杜布使随机过程的研究进一步抽象，丰富了概率论的内容，为调和分析、复变函数和位势理论等其他数学分支提供了有力工具。1962年，迈耶（Meyer）解决了杜布提出的连续时间的鞅分解为鞅及增过程之差的问题，使鞅和随机过程一般理论的内容更加丰富。[2]

平稳过程

关于宽平稳过程的研究，在20世纪40年代辛钦、柯尔莫哥洛夫和维纳等人运用傅里叶分析和泛函分析的工具，找出了过程的相关函数及过程本身的谱分解式，并且较完满地解决了有应用意义的预测问题。[11]

点过程

点过程是从所谓计数过程中发展出来的，它们可用落在不相重叠的集合上的随机点数目的联合概率分布来刻画整个过程的概率规律。最基本的计数过程是泊松过程，1943年，帕尔姆将它作为最简单的输入流应用于研究电话业务问题；1955年，辛钦又以严密的数学观点对泊松过程加以整理和发展。在60年代以前，点过程的研究主要限于泊松过程及其推广的过程。[11]

定义

在概率论中研究的对象是随机变量，其特点是：在每次试验的结果中，以一定的概率取某些事先未知，但为确定的“数值”。在实际问题中，试验过程的随机变量也可能随其他某个参数变化，这时就要研究随某个参数的改变而随机变化的过程。一般地，把随某个参数（一般是时间）的改变而随机变化的过程称为随机过程。[3]

随机变量族的随机过程

设是一随机试验，样本空间为参数集如果对于任意的有一定义在上的随机变量与之对应，则称随机变量族是参数集为的随机过程，简记为或[3][12]

函数族的随机过程

设是一随机试验，样本空间为参数集如果对于每个总有一个普通的时间函数与之对应，那么对于所有的可得到一族时间的函数，则称函数族是参数集为的随机过程，族中的每一个函数称为该随机过程的样本函数。[3][12]

若把看成二元函数，则有以下两个含义：

1. 当取定,是一随机变量，那么是一族随机变量；

2. 当取定,是一自变量为定义域为的普通函数，那么是一族样本函数，记为[3]

若取定，则是一确定数值，把所有可能取值的全体称为随机过程的状态空间或相空间，当若则称随机过程在时刻处于状态[3]

有限维分布族

定义

对于任意的有称为随机过程的维分布函数。[13]

随机过程的一维分布函数，二维分布函数, ,维分布函数等的全体称为随机过程的有限维分布族或有穷维分布族。[13]

性质

1.对的任一排列及任意实数

有

2.相容性：若则[7]

这两个性质通常称为相容性条件或一致性条件。[7]

柯尔莫哥洛夫相容性定理：定义在概率空间上的随机过程的有限维分布族必然满足相容性条件。反之，如果一分布函数族满足相容性条件，则必存在一概率空间及其上的随机过程使得它的有限维分布族正是[7]

性质

随机过程理论具有如下的一些基本概念及性质：

等价

设和是定义在概率空间上的两个随机过程，若对任意均有则称这两个过程随机等价或简称等价。[7]

无区别

设和是定义在概率空间上的两个随机过程，如果存在一零概率集使得有对所有成立，则称这两个随机过程随机无区别，简称无区别。无区别的两个随机过程一定等价，但等价的两个随机过程不一定是无区别的两个过程。[7]

可分性

设是定义在概率空间上的随机过程，当是非可数集时，对任一闭集集合未必是可测集。如果存在的可数稠子集使得对任意开区间

恒有及

则称随机过程为可分的。[7]

可测性

设是定义在概率空间上的随机过程，参数集是的波莱尔集。以表示中全体波莱尔子集所构成的域，把视为上的函数，如果它是可测空间上的可测函数，就称随机过程为波莱尔可测。[7]

连续性

如果当时,依概率收敛于则称随机过程在处是随机连续的。如果随机过程在每个处，都是随机连续的，则称该过程是随机连续的。[7]

分类

随机过程的种类很多，由不同的标准便可得到不同的分类方法。按照随机过程的时间参数集和状态集是连续还是离散，随机过程可分成以下四类。[3]

离散时间离散状态随机过程

随机过程的时间和状态都是离散的。[3]

示例：考虑抛掷一颗骰子的实验，设是第次抛掷的点数，对于不同的是不同的随机变量，因而构成一随机过程，它的状态空间是

连续时间离散状态随机过程

是连续集，且对于任意的是离散型随机变量。[3]

示例：设表示内到达某商店的顾客数，则是一连续时间离散状态随机过程。

离散时间连续状态随机过程

是离散集，且对于任意的是连续型随机变量。它对应于时间离散，状态连续的情况，它可以通过对连续型随机过程进行顺序等时间间隔采样得到。[3]

示例：考虑从林场的一批长为的圆木中任取一根，用表示从左端算起它在处的截面积，那么是一离散时间连续状态随机过程，状态参数集为

连续时间连续状态随机过程

是连续集，且对于任意的是连续型随机变量，时间和状态都是连续的。[3]

示例：在测量运动目标的距离时存在随机误差，若以表示在时刻的测量误差，则它是一个随机变量。当目标随时间按一定规律运动时，测量误差随时间而变化，则是依赖于时间的一族随机变量，即是一连续时间连续状态随机过程。

相关推广

复随机过程

一般地，把随机过程都表示为时间的实值函数，称为实随机过程。在某些情况下，把过程表示为复数形式，就有了复随机过程的概念。[8]

定义：设和为二实随机过程，称为复随机过程，如果对任意的有，则称为复二阶矩过程，其中为复数的模。[8]

二维随机过程

定义：设是定义在同一样本空间上且有同一参数集的随机过程，对于任意的是一个二维随机变量，称为上的二维随机过程。[3]

常见随机过程

独立增量过程

定义：设为随机过程，如果对任意的正整数，任意的，它的个增量相互独立，则称为独立增量过程。[8]

若对任意的，增量的分布只与时间差有关，而与起点时刻无关，则称为平稳独立增量过程。[8]

定理：设是独立增量过程，且，则[8]

正交增量过程

定义：设为实的或复的二阶矩过程，如果对任意的有，则称为正交增量过程。[8]

定理：设为正交增量过程，则存在单调不减的实函数，

使得，且在相差一个常数的意义下是唯一的。[8]

平稳过程

严平稳过程的定义：设是一随机过程，若对任意的正整数，任意的和任意的，当时，维随机变量和有相同的分布函数，即

则称是严平稳过程。[8]

严平稳过程是指它的有限维分布不随时间的推移而改变。在实际问题中，即便所研究的过程是严平稳过程，但难以从理论上加以严格证明。因此在应用中，放宽严平稳的条件去研究一类更广泛的平稳过程是可行的选择，即所谓的宽平稳过程。

宽平稳过程的定义：如果二阶矩过程满足以下关系，

(1)为常数

(2)对任意的，与无关而只与有关。（表示“定义为”）

则称为宽平稳过程。[8]

马尔可夫过程

定义：设的状态空间为，如果对任意，任意的个数值，在条件下的条件分布函数恰等于在条件下的条件分布函数，即

则称为马尔可夫过程。[8]

马尔可夫过程的特性：当过程在时刻所处的状态已知时，过程在时刻的状态只与过程在时刻的状态有关，而与过程在时刻之前所处的状态无关。这种特性称为无后效性或马尔可夫性。[8]

高斯过程

高斯过程的定义：设随机过程对任意的正整数及，随机变量的联合分布函数为维正态分布，即有如下的密度函数：

，则称为高斯过程，亦称正态随机过程。[9]

其中，

为对称正定矩阵,表的逆矩阵,表的行列式,表向量或矩阵的转置。[9]

高斯过程的一些定理：

1. 设是实正态过程，且在上均方可微，则也是正态过程；

2. 设是上均方可积的实正态过程，则也是正态过程。[14]

泊松过程

泊松过程是工程技术中较多见的马尔可夫过程，常有5种等价定义，下面介绍两种常见定义。[10]

泊松过程的第一个定义：设随机过程的无限状态空间是若满足条件：

• 是平稳独立增量过程；

• 对任意 ，每一增量非负，且服从参数为的泊松分布，即有

其中，则称是具有参数的泊松过程。[10]

作为给出泊松过程的第二个定义的准备，先定义无穷小的概念：若，则称函数是无穷小，记为[15]

泊松过程的第二个定义：设随机过程的无限状态空间是，若满足条件：

• 是平稳独立增量过程；

• 对任意 ，每一增量非负，且有

其中则称是具有参数的泊松过程。[10]

维纳过程

定义：设随机过程的状态空间是若满足：

• 是平稳独立增量过程；

• 每一增量

则称它为维纳过程。[10]

维纳过程最早是在研究布朗运动时发现的，亦称布朗运动。[10]

维纳过程有如下一些性质：

• 当，维纳过程称为标准维纳过程；

• 维纳过程是平稳独立增量过程，有

• 维纳过程的分布密度等于在相应时刻上增量的分布密度，即维纳过程的转移分布密度为

[10]

相关应用

金融学

现代金融衍生证券诞生于70年代，随着金融衍生证券市场的蓬勃发展，衍生证券给现代金融学提出更为复杂的数学问题。金融证券市场运行的内在复杂性，使得金融衍生证券定价问题成为经济系统建模中具有挑战性的课题之一。[4]

基于维纳过程（布朗运动）条件下的一般的金融衍生证券的定价理论已经发展得较为成熟，但是当把研究重点放在到具有随机波动性、差异利率、具有交易费用等条件下的衍生证券的定价问题上时，该理论模型仍会存在一定的不适性，这时应该使用波动率的随机过程来建立衍生证券的定价模型，可以更科学地为衍生证券定价。[4]

声学

声波在诸如混凝土等混合物介质中传播时，即使入射波为瞬时脉冲波，接收波也会呈现出持续时间相对较长的连续波。把声波抽象为一种粒子，基于概率论随机过程原理及声波在混合物介质中传播时散射的随机特性，将混合物介质抽象为三维各向同性马尔科夫链，把声波在混合物介质中的传播过程抽象为粒子在三维马尔科夫链中以声速进行“随机游走”，构建随机过程理论模型，可以较好地解释声波在混合物介质中传播时“峰波延后”及“尾波”等现象。[5]

生物学

林木的生长不可避免地受到许多随机因素的环境影响，在整个生长过程中，不同因素对它的影响不同，很难全部精确地测定出来，并且各个因素之间的关系也是随机变化的。因此在描述树木生长过程时，把林木在某一特定时间的累计生长量当作随机变量，把林木生长过程视为一个随机过程来进行描述，以斯洛波达（Sloboda）生长模型为基础，来研究林木生长过程，构建林木的生长模型，揭示林木的生长规律。随机过程理论方法的应用为林木生长过程的研究提供新的理论基础，构建毛竹笋期生长的随机过程模型，对解释毛竹超强固碳功能，编制毛竹生长过程表，指导毛竹生产实践及预估毛竹林的生长提供理论依据。[6]

参考资料

展开

[1]全国自然科学名词审定委员会数学名词审定委员会编. 数学名词 1993[M]. 北京: 科学出版社, 1994.04: 196.

[2]高玉龙, 陈艳平, 何晨光编著. 随机过程分析与处理 第2版[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2020.03: 9. (3)

[3]北京邮电大学数学系概率教学组编著. 概率论与随机过程[M]. 北京: 北京邮电大学出版社,, 2021.01: 159-164. (5)

[4]孙良, 张俊国, 潘德惠. 金融衍生证券定价理论进展评述[J]. 东北大学学报, 1998, (05): 91-94. (2)

[5]郑康琳, 王陶, 樊平等. 混合物介质中声波尾波成因的随机过程分析[J]. 应用声学, 2023, 第42卷(1): 154-158.

[6]施拥军, 刘恩斌, 周国模等. 基于随机过程的毛竹笋期生长模型构建及应用[J]. 林业科学, 2013, 49(09): 89-93.

[7]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第4卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 339-340. (2)

[8]北京邮电大学数学系概率教学组编著. 概率论与随机过程[M]. 北京: 北京邮电大学出版社, 2021.01: 164-167. (5)

[9]中山大学数学力学系《概率论及数理统计》编写小组编. 概率论及数理统计 下[M]. 北京: 人民教育出版社, 1980.07: 300-301.

[10]田波平, 李朝艳, 吴玉东编. 应用随机过程 第2版[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2022.04: 200-210. (3)

[11]张鑫. 概率论公理化进程的历史研究[D]. 山东大学, 2012: 41-43. (2)

[12]《数学辞海》编辑委员会编. 数学辞海 第1卷[M]. 太原: 山西教育出版社, 2002.08: 701.

[13]田波平, 李朝艳, 吴玉东编. 应用随机过程 第2版[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2022.04: 47-53. (4)

[14]王自果, 田铮编. 随机过程[M]. 西安: 西北工业大学出版社, 1990.03: 177-179. (3)

[15]（美）S.M.劳斯（Sheldon M.Ross）著. 随机过程[M]. 何声武等译. 北京: 中国统计出版社, 1997.07: 35.

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