牛顿方程

简介

牛顿法，计算方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。

起源

牛顿法最初由艾萨克·牛顿于1736年在 Method of Fluxions 中公开提出。而事实上方法此时已经由Joseph Raphson于1690年在Analysis Aequationum中提出，与牛顿法相关的章节Method of Fluxions在更早的1671年已经完成了。

方法说明

首先，选择一个接近函数f(x)零点的，计算相应的和切线斜率（这里表示函数f的导数）。然后我们计算穿过点并且斜率为的直线和x轴的交点的x坐标，也就是求如下方程的解：

我们将新求得的点的x坐标命名为，通常会比更接近方程的解。因此我们现在可以利用开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：

已经证明，如果f'是连续的，并且待求的零点x是孤立的，那么在零点x周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能。粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。下图为一个牛顿法执行过程的例子。

第一个例子

求方程 的根。两边求导，得。由于（对于所有x），以及 （对于），可知方程的根位于0和1之间。我们从开始。

第二个例子

牛顿法亦可发挥与泰勒展开式，对于函式展开的功能。

求a的m次方根。

- a= 0

设 ，

而a的m次方根，亦是x的解，

以牛顿法来迭代：

或

第二定律方程

按照牛顿第二定律，在惯性参照系中，质点在外力F作用下所获得的加速度矢量

与所受的力F有下列关系：。其中m是质点的质量，a是质点某一时刻的瞬时加速度。这是

一个矢量形式的二阶微分方程。在实际运算时，常选取不同的坐标系，方程的分量形式就会有不同的表示。

以直角坐标系为例。其分量形式为：

如果作用力时已知的，这一组二阶微分方程加上初条件（时的位置和速度），解方程后即可决定以后任何时刻的位置和运动状态。

参见

二分法

割线法

试位法

迭代法

该页面最新编辑时间为 2023年8月3日